微积分学示例

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $y (8 x - 9 y) d x$ 。

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 8 x - 9 y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $8 x - 9 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.2

因为 $8 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 9 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.6.2

将 $- 9$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

解题步骤 2.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $8 x - 9 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

解题步骤 2.3.8.2

从 $- 9 y$ 中减去 $9 y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x (x - 3 y)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 3 y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $x - 3 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.3

因为 $- 3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

解题步骤 3.4.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $x - 3 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

解题步骤 3.4.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $8 x - 18 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $4 x - 6 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $8 x - 18 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $4 x - 6 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $2 x (x - 3 y)$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $2 x (x - 3 y)$ 替换 $N$ 。

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2

约去 $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- 18 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.3

从 $- (- 8 x) - (18 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.4

从 $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 重写为 $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 。

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.6

从 $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.7

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.7.1

从 $2 x (x - 3 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

解题步骤 5.3.2.7.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

解题步骤 5.3.2.7.3

重写表达式。

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 4 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $9 y$ 中减去 $3 y$ 。

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- 2 x + 6 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.3.2

从 $6 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.3.3

从 $2 (- x) + 2 (3 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4

约去 $- x + 3 y$ 和 $x - 3 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4.2

从 $3 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4.3

从 $- (x) - (- 3 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $- (x - 3 y)$ 重写为 $- 1 (x - 3 y)$ 。

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4.5

约去公因数。

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

解题步骤 5.3.4.6

重写表达式。

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.3

化简。

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

解题步骤 6.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

解题步骤 6.4.3

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{2} + C$

解题步骤 7

在 $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y (8 x - 9 y)$ 乘以 $x^{2}$ 。

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.3

使用乘法的交换性质重写。

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.4

使用乘法的交换性质重写。

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.5.1

移动 $y$ 。

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.8

将 $2 x (x - 3 y)$ 乘以 $x^{2}$ 。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

解题步骤 7.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

解题步骤 7.10

运用分配律。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

解题步骤 7.11

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.11.1

移动 $x$ 。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

解题步骤 7.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

解题步骤 7.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

解题步骤 7.11.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

解题步骤 7.12

使用乘法的交换性质重写。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

解题步骤 7.13

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

解题步骤 9

对 $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

解题步骤 9.2

由于 $8 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8 y$ 移到积分外。

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

解题步骤 9.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

解题步骤 9.4

由于 $- 9 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9 y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

解题步骤 9.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 9.6

化简。

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7

化简。

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解题步骤 9.7.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.2

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.7.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.7.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.2.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.2.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 9.7.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 9.7.4

组合 $- 9$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 9.7.5

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

解题步骤 9.7.6

约去 $- 9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.7.6.1

从 $y^{2} (- 9 x^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

解题步骤 9.7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 9.7.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

解题步骤 9.7.6.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.7.6.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

解题步骤 9.7.6.2.4

用 $y^{2} (- 3 x^{3})$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

解题步骤 10

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $2 x^{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y x^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.4

计算 $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ 。

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解题步骤 12.4.1

因为 $- 3 x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{2} (- 3 x^{3})$ 对 $y$ 的导数是 $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.4.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 12.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $2 x^{4}$ 。

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

解题步骤 13.1.2

在等式两边都加上 $6 x^{3} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

解题步骤 13.1.3

合并 $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.3.1

从 $2 x^{4}$ 中减去 $2 x^{4}$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

解题步骤 13.1.3.2

将 $- 6 x^{3} y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

解题步骤 13.1.3.3

将 $- 6 x^{3} y$ 和 $6 x^{3} y$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 14

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 14.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 14.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

解题步骤 16

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$

微积分学 示例

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