微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简分母。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3.1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1.3.1

一的任意次幂都为一。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3.2

合并。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

解题步骤 1.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

解题步骤 1.3.3.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

解题步骤 1.3.3.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ 。然后使 $d u = - 3 x^{2} d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 - x$ 且 $g (x) = 1 + x + x^{2}$ 。

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

根据加法法则， $1 + x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.6

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.2.1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.3.2.1.3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.2.1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2.1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.2.1.3.11

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

解题步骤 2.3.2.1.3.11.2

将 $- 1$ 移到 $1 + x + x^{2}$ 的左侧。

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

解题步骤 2.3.2.1.3.11.3

将 $- 1 (1 + x + x^{2})$ 重写为 $- (1 + x + x^{2})$ 。

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

解题步骤 2.3.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

运用分配律。

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

运用分配律。

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.4

运用分配律。

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5

合并项。

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解题步骤 2.3.2.1.4.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.9

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.11

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.12

将 $x - 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.13

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.14

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{2} - x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.4.5.15

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

解题步骤 2.3.3.3

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.7.2

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.10

使用 $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

合并 $1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.3.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.2

将 $1 + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ 。

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.5

去掉 ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

微积分学 示例

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