微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

展开 ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ 重写为 $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ 。

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

解题步骤 2.3.1.2

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

解题步骤 2.3.1.4

运用分配律。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.5

移动 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.6

移动 $x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.7

将 $15$ 乘以 $15$ 。

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.9

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.10

将 $15$ 乘以 $- 6$ 。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.11

将 $- 6$ 乘以 $15$ 。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

解题步骤 2.3.1.12

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

解题步骤 2.3.1.13

从 $- 90 x^{2}$ 中减去 $90 x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $225$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $225$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 180$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 180$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

解题步骤 2.3.7

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

化简。

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解题步骤 2.3.8.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.8.2

化简。

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$

微积分学 示例

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