微积分学示例

$(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x + (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.2

将 $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (0 + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3.6

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.10

组合 $2$ 和 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (x^{2} \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.11

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2} (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.12.1

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 \cdot x^{2} y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.12.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13

约去公因数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

重写表达式。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15

组合 $y$ 和 $\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + \frac{y x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.16

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y x^{2} y^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.17

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.17.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y x^{2}$

解题步骤 1.17.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.17.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{2}$

解题步骤 1.17.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{2}$

解题步骤 1.17.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{2}$

解题步骤 1.17.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{2}$

解题步骤 1.17.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{2}$

解题步骤 1.18

将 $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $y^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 相加。

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解题步骤 1.18.1

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.18.2

将 $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.19

化简。

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解题步骤 1.19.1

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$

解题步骤 1.19.2

将 $3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

解题步骤 2.3.2

将 $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.3.4

因为 $y^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 \cdot y^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x + 0)$

解题步骤 2.3.8

将 $2 y^{\frac{1}{2}} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x)$

解题步骤 2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x^{1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1 + 1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{2} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + 2 \cdot x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.8

将 $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y$ 移到积分外。

$f (x, y) = y \int 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = y (\int 2 d x + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = y (2 x + C + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

解题步骤 5.4

由于 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} \int x^{2} d x)$

解题步骤 5.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 5.7

重新排序项。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})]$ 。

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解题步骤 8.3.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 。

$y \frac{d}{d y} [2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}] + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.4

根据加法法则， $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]$ 。

$y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.5

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y (0 + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.6

因为 $\frac{2 x^{3}}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.11

在公分母上合并分子。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.12

化简分子。

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解题步骤 8.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.13

将负号移到分数的前面。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.15

将 $\frac{2 x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.16

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{6}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.18

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.19

约去公因数。

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解题步骤 8.3.19.1

从 $6 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.19.2

约去公因数。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.19.3

重写表达式。

$y (0 + \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.20

将 $0$ 和 $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$y \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.21

组合 $y$ 和 $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.22

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{y x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.3.23.1

移动 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23.2

将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 8.3.23.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23.4

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.23.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.24

将 $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.25

在公分母上合并分子。

$2 x + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.26

将 $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ 和 $2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ 相加。

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.27

约去公因数。

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.3.28

用 $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ 除以 $1$ 。

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d g}{d y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) x = 0$

解题步骤 9.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - 2) x = 0$

解题步骤 9.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{2} y^{\frac{1}{2}} x - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.1.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x \cdot x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.1.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{1} x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{1 + 2} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.2

合并 $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x + 0 - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $\frac{d g}{d y} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + 2 x - 2 x = 0$

解题步骤 9.1.2.3

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

解题步骤 9.1.2.4

将 $\frac{d g}{d y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 10

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 10.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 10.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12.1.1.2

组合 $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

解题步骤 12.1.2

运用分配律。

$f (x, y) = y (2 x) + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = 2 y x + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.4

乘以 $y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 。

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解题步骤 12.1.4.1

组合 $y$ 和 $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ 。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{3})}{3} + C$

解题步骤 12.1.4.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}}) x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{1 + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.4.5

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2 + 1}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.1.4.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.2

将 $f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

微积分学 示例

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