微积分学示例

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ 中的每一项除以 $\ln (| y |)$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ 中的每一项都除以 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $\ln (| y |)$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

解题步骤 2.3

约去 $\ln (| y |)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

解题步骤 2.4

重写该方程。

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2

对左边积分。

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解题步骤 3.2.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (| y |)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.4

化简。

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.2.5

重新排序项。

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

解题步骤 3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$

微积分学 示例

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