微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- \frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{2} \sin (2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 7.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 7.3

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

解题步骤 7.5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7.6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

解题步骤 7.10

化简。

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解题步骤 7.10.1

将 $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

解题步骤 7.10.2

化简。

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解题步骤 7.10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

解题步骤 7.10.2.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

解题步骤 7.11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 7.12

将 $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

运用分配律。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.4

运用分配律。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.6.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.6.2

从 $- 2 x \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.6.3

约去公因数。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.6.4

重写表达式。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.8

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

解题步骤 8.3.1.9

使用正弦倍角公式。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

解题步骤 8.3.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

解题步骤 8.3.1.10.2

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

解题步骤 8.3.1.10.3

约去公因数。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

解题步骤 8.3.1.10.4

重写表达式。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

解题步骤 8.3.1.11

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

解题步骤 8.3.1.12

组合 $\frac{\sin (x)}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

解题步骤 8.4

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 8.4.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

解题步骤 8.4.2

化简。

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解题步骤 8.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

解题步骤 8.4.2.1.1.2

重写表达式。

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

解题步骤 8.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

化简 $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ 。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

化简。

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解题步骤 8.4.2.2.1.2.1

乘以 $- \frac{x}{2} x$ 。

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解题步骤 8.4.2.2.1.2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.2.2.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.2.3

组合 $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ 和 $x$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.3

将 $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

解题步骤 8.4.2.2.1.4

移动 $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

解题步骤 8.4.2.2.1.5

移动 $x^{2} \sin^{2} (x)$ 。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

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