微积分学示例

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $(2 x y + x^{2}) d y$ 。

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x y + 3 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

解题步骤 3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 x y + x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 x y + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

解题步骤 3.8.2

合并项。

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解题步骤 3.8.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

解题步骤 3.8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

解题步骤 3.8.3

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 x + 6 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 2 x - 2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $2 x + 6 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $- 2 x - 2 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $- (2 x y + x^{2})$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- (2 x y + x^{2})$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.4

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $6 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.6

从 $4 x + 8 y$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 5.3.2.6.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.6.2

从 $8 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.6.3

从 $4 (x) + 4 (2 y)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

解题步骤 5.3.3

从 $2 x y + x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $x (2 y) + x \cdot x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

解题步骤 5.3.4

约去 $x + 2 y$ 和 $2 y + x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

重新排序项。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.3.4.3

重写表达式。

$\frac{4}{- x}$

解题步骤 5.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

解题步骤 6.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

解题步骤 6.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.3

去掉 ${| x |}^{- 4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

解题步骤 6.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

解题步骤 7

在 $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 x y + 3 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.2

将 $2 x y + 3 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3

从 $2 x y + 3 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 7.3.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3.2

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.3.3

从 $y (2 x) + y (3 y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $- (2 x y + x^{2})$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.7

将 $- 2 x y - x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.8

从 $- 2 x y - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.8.1

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.8.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.8.3

从 $x (- 2 y) + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

解题步骤 7.9

约去公因数。

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解题步骤 7.9.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.9.2

约去公因数。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.9.3

重写表达式。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.10

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.11

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.12

从 $- (2 y) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.13

将 $- (2 y + x)$ 重写为 $- 1 (2 y + x)$ 。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 7.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

解题步骤 9.2

由于 $\frac{1}{x^{3}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{3}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

解题步骤 9.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

解题步骤 9.4

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

解题步骤 9.5

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

解题步骤 9.6

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

解题步骤 9.7

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

解题步骤 9.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

解题步骤 9.9

化简。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 且 $g (x) = y^{2} + x y$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.3

根据加法法则， $y^{2} + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.4

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.5

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.7

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 12.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.8.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.10

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.11

将 $0$ 和 $y$ 相加。

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.12

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $y$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.13

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.13.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.13.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.14

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.15

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.3.15.1

移动 $x^{2}$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.15.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.16

要将 $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.17

在公分母上合并分子。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.18

通过指数相加将 $x^{- 4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 12.3.18.1

移动 $x^{3}$ 。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.3.18.3

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.2

运用分配律。

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3

合并项。

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解题步骤 12.5.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.3

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.4

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.7

组合 $x$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.8

组合 $y$ 和 $\frac{x \cdot 3}{x}$ 。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.9

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.10

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.11

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.3.11.1

约去公因数。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.11.2

用 $3 y$ 除以 $1$ 。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.13

从 $y$ 中减去 $3 y$ 。

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.14

要将 $\frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.4

重新排序项。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5

化简分子。

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解题步骤 12.5.5.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.3

乘以 $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ 。

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解题步骤 12.5.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.3.2

将 $\frac{3 y^{2}}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.4

要将 $x^{3} \frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.5.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 12.5.5.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.7

要将 $2 y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.5.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.7

乘以 $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 12.5.7.1

将 $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 12.5.7.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 12.5.7.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 12.5.7.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

解题步骤 13.1.2

化简 $y (2 x + 3 y)$ 。

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解题步骤 13.1.2.1

重写。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

解题步骤 13.1.2.2

通过加上各个零进行化简。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

解题步骤 13.1.2.3

运用分配律。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

解题步骤 13.1.2.4

重新排序。

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解题步骤 13.1.2.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

解题步骤 13.1.2.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

解题步骤 13.1.2.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 13.1.2.5.1

移动 $y$ 。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

解题步骤 13.1.2.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

解题步骤 13.1.3

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.3.1

从等式两边同时减去 $2 y x$ 。

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

解题步骤 13.1.3.2

从等式两边同时减去 $3 y^{2}$ 。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

解题步骤 13.1.3.3

合并 $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.3.3.1

从 $2 y x$ 中减去 $2 y x$ 。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

解题步骤 13.1.3.3.2

将 $3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

解题步骤 13.1.3.3.3

从 $3 y^{2}$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 13.1.4

将 $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项除以 $x^{4}$ 并化简。

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解题步骤 13.1.4.1

将 $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项都除以 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

解题步骤 13.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 13.1.4.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

解题步骤 13.1.4.2.1.2

用 $\frac{d g}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

解题步骤 13.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 13.1.4.3.1

用 $0$ 除以 $x^{4}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 14

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 14.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 14.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

解题步骤 16.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

解题步骤 16.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 16.3.1

将 $- \frac{1}{x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

解题步骤 16.3.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

解题步骤 16.3.3

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

解题步骤 16.3.4

约去公因数。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

解题步骤 16.3.5

重写表达式。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

解题步骤 16.4

组合 $\frac{- 1}{x^{2}}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

解题步骤 16.5

将负号移到分数的前面。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$

微积分学 示例

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