微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 2 x d x}$

解题步骤 1.2

对 $2 x$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int x d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{2} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x^{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x^{2}}$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{x^{2}} y = C$

解题步骤 7

将 $e^{x^{2}} y = C$ 中的每一项除以 $e^{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x^{2}} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 8

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

解题步骤 9

求解 $C$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ 。

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

解题步骤 9.2

等式两边同时乘以 $e^{0^{2}}$ 。

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

解题步骤 9.3

化简方程的两边。

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解题步骤 9.3.1

化简左边。

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解题步骤 9.3.1.1

约去 $e^{0^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1.1

约去公因数。

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

解题步骤 9.3.1.1.2

重写表达式。

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

解题步骤 9.3.2

化简右边。

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解题步骤 9.3.2.1

化简 $e^{0^{2}} \cdot 1$ 。

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解题步骤 9.3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$C = e^{0} \cdot 1$

解题步骤 9.3.2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C = 1 \cdot 1$

解题步骤 9.3.2.1.3

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$C = 1$

解题步骤 10

代入 $1$ 替换 $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 10.1

代入 $1$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$

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