微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.2

组合 $0.6$ 和 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

从 $0.6 t$ 中分解出因数 $0.6$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.3

分离分数。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.4

用 $0.6$ 除以 $2$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.5

用 $t$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ 。

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用分配律。

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

运用分配律。

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

移动 $t$ 。

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

将 $0.3$ 乘以 $0.3$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

乘以 $0.3 t \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.1

组合 $0.3$ 和 $\frac{K}{2}$ 。

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2

组合 $t$ 和 $\frac{0.3 K}{2}$ 。

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5

将 $0.3$ 移到 $t$ 的左侧。

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.6

从 $0.3 \cdot t K$ 中分解出因数 $0.3$ 。

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.7

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8

分离分数。

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9

用 $0.3$ 除以 $2$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.10

用 $t K$ 除以 $1$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.11

使用乘法的交换性质重写。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.12

组合 $0.3$ 和 $\frac{K}{2}$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.13

从 $0.3 K$ 中分解出因数 $0.3$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.14

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.15

分离分数。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.16

用 $0.3$ 除以 $2$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.17

用 $K$ 除以 $1$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.18.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $0.15 t K$ 和 $0.15 K t$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

移动 $t$ 。

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $0.15 K t$ 和 $0.15 K t$ 相加。

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

化简 $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $0.09 t^{2}$ 。

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

解题步骤 3.4.2

将 $0.3 K t$ 和 $\frac{K^{2}}{4}$ 重新排序。

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$

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