微积分学示例

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3 y d x$ 。

$2 x d y = 3 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 3.5

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

解题步骤 3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ 。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

两边同时乘以 ${| x |}^{3}$ 。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

解题步骤 5.5.3

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1

约去 ${| x |}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

解题步骤 5.5.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

解题步骤 5.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

解题步骤 5.5.4.2

化简 $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1

将 $e^{C} {| x |}^{3}$ 重写为 ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

因式分解出 ${| x |}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

将 $e^{C}$ 和 ${| x |}^{2}$ 重新排序。

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

解题步骤 5.5.4.2.1.3

添加圆括号。

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

解题步骤 5.5.4.2.2

从根式下提出各项。

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

解题步骤 5.5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.4.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。