微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 7 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 7 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $7 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $6$ 代入 $x$ ，将 $19$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

解题步骤 4.2

化简 $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

解题步骤 4.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

解题步骤 4.2.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

解题步骤 4.2.1.4

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$0 + C = 19$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$C = 19$

解题步骤 5

代入 $19$ 替换 $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $19$ 替换 $C$ 。

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

解题步骤 5.2

乘以 $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $\ln (| 7 - x |)$ 和 $\frac{1}{3}$ 重新排序。

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

解题步骤 5.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ 。

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$

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