微积分学示例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $(1 + x^{2}) y$ 项的导数的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

解题步骤 1.6

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

解题步骤 1.7

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

解题步骤 1.9

去掉圆括号。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

解题步骤 1.10

移动 $y$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 5.4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.3.2.2

约去公因数。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.3.2.3

重写表达式。

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 5.4.2.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6

将 $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项除以 $1 + x^{2}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ 中的每一项都除以 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例