微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{9 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{9 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $9 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{9}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{x}{9} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x}{9} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{9} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{18} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{18} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{18}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{18} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{18} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (9)} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 9} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要将 $2 K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K \cdot \frac{9}{9}}$

解题步骤 3.4.2

组合 $2 K$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 K \cdot 9}{9}}$

解题步骤 3.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 9}{9}}$

解题步骤 3.4.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 18 K}{9}}$

解题步骤 3.4.5

将 $\frac{x^{2} + 18 K}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

从 $x^{2} + 18 K$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{9}}$

解题步骤 3.4.5.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 3.4.5.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)}$

解题步骤 3.4.6

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x^{2} + 18 K}$

解题步骤 3.4.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{x^{2} + 18 K}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$

微积分学 示例

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