微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

解题步骤 2.2

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

解题步骤 6.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

解题步骤 6.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

解题步骤 6.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

解题步骤 6.5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

解题步骤 6.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

解题步骤 6.7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

解题步骤 6.8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

解题步骤 6.9

将 $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ 重写为 $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 。

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

解题步骤 7

将 $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2

从 $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2.2

从 $- 2 x e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2.3

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2.4

从 $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2.5

从 $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.3

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.3.1

约去公因数。

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.3.2

用 $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ 除以 $1$ 。

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.4

运用分配律。

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.5

化简。

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解题步骤 7.3.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$

微积分学 示例

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