微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $x y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

解题步骤 1.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$x y = \int x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 6

将 $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

从 $\frac{1}{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.4

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.1.2.5

用 $\frac{1}{2} x$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

解题步骤 6.3.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ 中求 $C$ 的值。

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

解题步骤 8

求解 $C$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

解题步骤 8.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + C = 2$

解题步骤 8.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$C = 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 8.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 8.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 8.3.4

在公分母上合并分子。

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 8.3.5

化简分子。

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解题步骤 8.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C = \frac{4 - 1}{2}$

解题步骤 8.3.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$C = \frac{3}{2}$

解题步骤 9

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 9.1

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$

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