微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{2}$ 的指数。

$v = y^{- 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 4

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 4 x^{2} y^{2}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} + 3 x^{2} v^{- 1} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 3 x^{2} \frac{1}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.2

乘以 $3 x^{2} \frac{1}{v}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{v}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x^{2} \frac{3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3}{v}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x^{2} \cdot 3}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6.1.1.1.3

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6.1.1.2

化简 $4 x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 1 \cdot 2}$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} v^{- 2}$

解题步骤 6.1.1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = 4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2.3

乘以 $4 x^{2} \frac{1}{v^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = x^{2} \frac{4}{v^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{v^{2}}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{x^{2} \cdot 4}{v^{2}}$

解题步骤 6.1.1.2.4

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$

解题步骤 6.1.1.3

从等式两边同时减去 $\frac{3 x^{2}}{v}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$

解题步骤 6.1.1.4

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.4.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{4 x^{2}}{v^{2}} - \frac{3 x^{2}}{v}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.2.2

用 $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.4.3.1.1

移动 $\frac{\frac{4 x^{2}}{v^{2}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ 重写为 $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{- \frac{3 x^{2}}{v}}{- 1}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{\frac{3 x^{2}}{v}}{1}$

解题步骤 6.1.1.4.3.1.4

用 $\frac{3 x^{2}}{v}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}$

解题步骤 6.1.1.5

两边同时乘以 $v^{2}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6

化简。

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解题步骤 6.1.1.6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.6.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1

化简 $(- \frac{4 x^{2}}{v^{2}} + \frac{3 x^{2}}{v}) v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.1

运用分配律。

$\frac{d v}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.2

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.2.1

将 $- \frac{4 x^{2}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{v^{2}} v^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.1

从 $v^{2}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.2

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + \frac{3 x^{2}}{v} (v \cdot v)$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.3.3

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 x^{2} v$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1.6.2.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = - 4 x^{2} + 3 v x^{2}$

解题步骤 6.1.1.6.2.1.4.2

将 $- 4 x^{2}$ 和 $3 v x^{2}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} = 3 v x^{2} - 4 x^{2}$

解题步骤 6.1.2

从 $3 v x^{2} - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $3 v x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) - 4 x^{2}$

解题步骤 6.1.2.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$

解题步骤 6.1.2.3

从 $x^{2} (3 v) + x^{2} \cdot - 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} = x^{2} (3 v - 4)$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{3 v - 4}$ 。

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} (x^{2} (3 v - 4))$

解题步骤 6.1.4

约去 $3 v - 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $x^{2} (3 v - 4)$ 中分解出因数 $3 v - 4$ 。

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

解题步骤 6.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v - 4} ((3 v - 4) x^{2})$

解题步骤 6.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{3 v - 4} \frac{d v}{d x} = x^{2}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{1}{3 v - 4} d v = x^{2} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 v - 4} d v = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u = 3 v - 4$ 。然后使 $d u = 3 d v$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = 3 v - 4$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $3 v - 4$ 求导。

$\frac{d}{d v} [3 v - 4]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

根据加法法则， $3 v - 4$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d v} [3 v]$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $v$ 是常数，所以 $3 v$ 对 $v$ 的导数是 $3 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 4]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 4]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d v} [- 4]$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.2.2.1.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $3$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.5

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.2.6

使用 $3 v - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \int x^{2} d x$

解题步骤 6.2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 6.3

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |)) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 v - 4 |))$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| 3 v - 4 |)$ 。

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{\ln (| 3 v - 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\ln (| 3 v - 4 |) = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$

解题步骤 6.3.3

要求解 $v$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 3 v - 4 |)} = e^{x^{3} + 3 C}$

解题步骤 6.3.4

使用对数的定义将 $\ln (| 3 v - 4 |) = x^{3} + 3 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x^{3} + 3 C} = | 3 v - 4 |$

解题步骤 6.3.5

求解 $v$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

将方程重写为 $| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$ 。

$| 3 v - 4 | = e^{x^{3} + 3 C}$

解题步骤 6.3.5.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 v - 4 = \pm e^{x^{3} + 3 C}$

解题步骤 6.3.5.3

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$

解题步骤 6.3.5.4

将 $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.3.5.4.1

将 $3 v = \pm e^{x^{3} + 3 C} + 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 6.3.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.5.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 v}{3} = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 6.3.5.4.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C}}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 6.3.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + 3 C} + 4}{3}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$v = \frac{\pm e^{x^{3} + C} + 4}{3}$

解题步骤 6.4.2

将 $e^{x^{3} + C}$ 重写为 $e^{x^{3}} e^{C}$ 。

$v = \frac{\pm e^{x^{3}} e^{C} + 4}{3}$

解题步骤 6.4.3

将 $e^{x^{3}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$v = \frac{\pm e^{C} e^{x^{3}} + 4}{3}$

解题步骤 6.4.4

用加号或减号合并常数。

$v = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 1} = \frac{C e^{x^{3}} + 4}{3}$

微积分学 示例

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