微积分学示例

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 2)$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d w}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 2)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $4 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x) + 2 (1))}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

从 $2 (2 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (2 (2 x + 1))}{x^{2}}$

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} \cdot 2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{w}$ 的左侧。

$\frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d w}{d x} = 2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{w}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (2 \sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{w}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{w}} \cdot \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}) (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{w}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{\sqrt{w} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.2

对 $\sqrt{w}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.3

对 $\sqrt{w}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{1 + 1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{\sqrt{w}}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6

将 ${\sqrt{w}}^{2}$ 重写为 $w$ 。

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解题步骤 1.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{{(w^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w^{1}} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.3.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = 2 \frac{\sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{w}}{w}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} (\sqrt{w} \frac{2 x + 1}{x^{2}})$

解题步骤 1.4.5

组合 $\sqrt{w}$ 和 $\frac{2 x + 1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w}}{w} \cdot \frac{\sqrt{w} (2 x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.6

合并。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 \sqrt{w} (\sqrt{w} (2 x + 1))}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.7

化简分子。

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解题步骤 1.4.7.1

对 $\sqrt{w}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} \sqrt{w}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.7.2

对 $\sqrt{w}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{w}}^{1} {\sqrt{w}}^{1}) (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{1 + 1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {\sqrt{w}}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8

将 ${\sqrt{w}}^{2}$ 重写为 $w$ 。

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解题步骤 1.4.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.8.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{\frac{2}{2}} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w^{1} (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.8.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.9

约去 $w$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.9.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 w (2 x + 1)}{w x^{2}}$

解题步骤 1.4.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{w}$ 重写成 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $w^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $w^{- \frac{1}{2}}$ 对 $w$ 的积分是 $2 w^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int (2 x + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.3

乘以 $(2 x + 1) x^{- 2}$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4.1.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.4.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int 2 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.5

将单个积分拆分为多个积分。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\int 2 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

解题步骤 2.3.6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

解题步骤 2.3.7

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x)$

解题步骤 2.3.8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3})$

解题步骤 2.3.9

化简。

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

解题步骤 3

求解 $w$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 w^{\frac{1}{2}} = 2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $w^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1

约去公因数。

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 \ln (| x |) - \frac{1}{x})}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $2 \ln (| x |) - \frac{1}{x}$ 除以 $1$ 。

$w^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$w^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2}$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.4

化简指数。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

将 ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$w^{1} = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.4.1.1.2

化简。

$w = {(\ln ({| x |}^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$w = {(\ln (x^{2}) - \frac{1}{x} + C)}^{2}$

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