微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x e^{- y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{- y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{- y}$ 。

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x v$

解题步骤 2

通过对 $e^{- y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- y')$

解题步骤 2.4

重新排序 $e^{- y} (- y')$ 的因式。

$\frac{d v}{d x} = - e^{- y} y'$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{- y}$ 。

$\frac{d v}{d x} = - v y'$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$

解题步骤 5

重写微分方程以符合伯努利方程。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ 中的每一项乘以 $- \frac{v}{x}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.1.1

将 $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ 中的每一项乘以 $- \frac{v}{x}$ 。

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1.1

将 $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.1.2

将 $- \frac{v}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.1.3

从 $- x \frac{d v}{d x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.1.4

约去公因数。

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.2

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.2.1

从 $- v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.4

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.5

乘以 $3 (- \frac{v}{x})$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d v}{d x} - 3 \frac{v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.5.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{v}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $- \frac{v}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v \frac{- v}{x}$

解题步骤 5.1.3.1.2

从 $4 x v$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

解题步骤 5.1.3.1.3

约去公因数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

解题步骤 5.1.3.1.4

重写表达式。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 v (- v)$

解题步骤 5.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v \cdot v$

解题步骤 5.1.3.3

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v)$

解题步骤 5.1.3.4

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v^{1})$

解题步骤 5.1.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{1 + 1}$

解题步骤 5.1.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{2}$

解题步骤 5.2

从 $- \frac{3 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 4 v^{2}$

解题步骤 5.3

将 $v$ 和 $- \frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$

解题步骤 6

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $v^{2}$ 的指数。

$v = v^{- 1}$

解题步骤 7

求解 $v$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 8

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 9

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 9.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 9.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3

化简表达式。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 10

在原方程 $\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$ 中将 $\frac{d v}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $v$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 11

求解代入的微分方程。

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解题步骤 11.1

将微分方程重写为 $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 11.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 11.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 11.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.4

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 11.1.1.2.1.4.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.4.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.5

化简 $- \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.6

组合 $v$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 3}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.7

将 $3$ 移到 $v$ 的左侧。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.8

乘以 $- \frac{3 v}{x} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.1.1.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.2.1.8.2

将 $\frac{3 v}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 11.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 \cdot - 1 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 11.1.1.3.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 11.1.1.3.3

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.1.1.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

解题步骤 11.1.1.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 2} v^{2}$

解题步骤 11.1.1.3.4

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 11.1.1.3.4.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 (v^{2} v^{- 2})$

解题步骤 11.1.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{2 - 2}$

解题步骤 11.1.1.3.4.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{0}$

解题步骤 11.1.1.3.5

化简 $4 v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4$

解题步骤 11.1.2

从 $\frac{3 v}{x}$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{3}{x} = 4$

解题步骤 11.1.3

将 $v$ 和 $\frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3}{x} v = 4$

解题步骤 11.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 11.2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 11.2.2

对 $\frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 11.2.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 11.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 11.2.2.3

化简。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 11.2.3

去掉积分常数。

$e^{3 \ln (x)}$

解题步骤 11.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{3})}$

解题步骤 11.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{3}$

解题步骤 11.3

每一项乘以积分因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 11.3.1

每一项乘以 $x^{3}$ 。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} v) = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.2

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.1

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $v$ 。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.2.2.3

重写表达式。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{2} (3 v) = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = x^{3} \cdot 4$

解题步骤 11.3.3

将 $4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = 4 x^{3}$

解题步骤 11.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{3} v] = 4 x^{3}$

解题步骤 11.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} v] d x = \int 4 x^{3} d x$

解题步骤 11.6

对左边积分。

$x^{3} v = \int 4 x^{3} d x$

解题步骤 11.7

对右边积分。

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解题步骤 11.7.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$x^{3} v = 4 \int x^{3} d x$

解题步骤 11.7.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 11.7.3

化简答案。

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解题步骤 11.7.3.1

将 $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ 。

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 11.7.3.2

化简。

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解题步骤 11.7.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

解题步骤 11.7.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.7.3.2.2.1

约去公因数。

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

解题步骤 11.7.3.2.2.2

重写表达式。

$x^{3} v = 1 x^{4} + C$

解题步骤 11.7.3.2.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} v = x^{4} + C$

解题步骤 11.8

将 $x^{3} v = x^{4} + C$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 11.8.1

将 $x^{3} v = x^{4} + C$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.2

化简左边。

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解题步骤 11.8.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.3

化简右边。

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解题步骤 11.8.3.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.3.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.8.3.1.2.1

乘以 $1$ 。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.3.1.2.2

约去公因数。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.3.1.2.3

重写表达式。

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 11.8.3.1.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$v = x + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 12

代入 $v^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$v^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 13

使用 $e^{- y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

${(e^{- y})}^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

解题步骤 14

求解 $y$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

解题步骤 14.2

展开左边。

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解题步骤 14.2.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

解题步骤 14.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

解题步骤 14.2.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

微积分学 示例

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