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微积分学 示例
解题步骤 1
使 。用 代入替换所有出现的 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3
将 重写为 。
解题步骤 2.4
重新排序 的因式。
解题步骤 3
代入 替换 。
解题步骤 4
将导数代回微分方程。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将 中的每一项乘以 以消去分数。
解题步骤 5.1.1
将 中的每一项乘以 。
解题步骤 5.1.2
化简左边。
解题步骤 5.1.2.1
化简每一项。
解题步骤 5.1.2.1.1
约去 的公因数。
解题步骤 5.1.2.1.1.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.1.2.1.1.2
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.1.2.1.1.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.2.1.1.4
约去公因数。
解题步骤 5.1.2.1.1.5
重写表达式。
解题步骤 5.1.2.1.2
约去 的公因数。
解题步骤 5.1.2.1.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.1.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 5.1.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 5.1.2.1.4
将 乘以 。
解题步骤 5.1.2.1.5
乘以 。
解题步骤 5.1.2.1.5.1
将 乘以 。
解题步骤 5.1.2.1.5.2
组合 和 。
解题步骤 5.1.2.1.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 5.1.3
化简右边。
解题步骤 5.1.3.1
约去 的公因数。
解题步骤 5.1.3.1.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.1.3.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.1.3.1.3
约去公因数。
解题步骤 5.1.3.1.4
重写表达式。
解题步骤 5.1.3.2
将 乘以 。
解题步骤 5.1.3.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 5.1.3.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 5.1.3.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.1.3.6
将 和 相加。
解题步骤 5.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.3
将 和 重新排序。
解题步骤 6
要解微分方程,设 ,其中 是 的指数。
解题步骤 7
求解 的方程。
解题步骤 8
取 对 的导数。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
取 的导数。
解题步骤 9.2
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 9.3
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 9.4
使用常数法则求导。
解题步骤 9.4.1
将 乘以 。
解题步骤 9.4.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 9.4.3
化简表达式。
解题步骤 9.4.3.1
将 乘以 。
解题步骤 9.4.3.2
从 中减去 。
解题步骤 9.4.3.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 9.5
将 重写为 。
解题步骤 10
在原方程 中将 替换成 并且将 替换成 。
解题步骤 11
解题步骤 11.1
将微分方程重写为 。
解题步骤 11.1.1
将 中的每一项乘以 以消去分数。
解题步骤 11.1.1.1
将 中的每一项乘以 。
解题步骤 11.1.1.2
化简左边。
解题步骤 11.1.1.2.1
化简每一项。
解题步骤 11.1.1.2.1.1
约去 的公因数。
解题步骤 11.1.1.2.1.1.1
将 中前置负号移到分子中。
解题步骤 11.1.1.2.1.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.1.1.2.1.1.3
约去公因数。
解题步骤 11.1.1.2.1.1.4
重写表达式。
解题步骤 11.1.1.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.2.1.4
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.2.1.4.1
移动 。
解题步骤 11.1.1.2.1.4.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 11.1.1.2.1.4.3
从 中减去 。
解题步骤 11.1.1.2.1.5
化简 。
解题步骤 11.1.1.2.1.6
组合 和 。
解题步骤 11.1.1.2.1.7
将 移到 的左侧。
解题步骤 11.1.1.2.1.8
乘以 。
解题步骤 11.1.1.2.1.8.1
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.2.1.8.2
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.3
化简右边。
解题步骤 11.1.1.3.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 11.1.1.3.2
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.3.3
将 中的指数相乘。
解题步骤 11.1.1.3.3.1
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 11.1.1.3.3.2
将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.3.4
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 11.1.1.3.4.1
移动 。
解题步骤 11.1.1.3.4.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 11.1.1.3.4.3
从 中减去 。
解题步骤 11.1.1.3.5
化简 。
解题步骤 11.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.1.3
将 和 重新排序。
解题步骤 11.2
积分因数由公式 定义,其中 。
解题步骤 11.2.1
建立积分。
解题步骤 11.2.2
对 积分。
解题步骤 11.2.2.1
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 11.2.2.2
对 的积分为 。
解题步骤 11.2.2.3
化简。
解题步骤 11.2.3
去掉积分常数。
解题步骤 11.2.4
使用对数幂法则。
解题步骤 11.2.5
指数函数和对数函数互为反函数。
解题步骤 11.3
每一项乘以积分因数 。
解题步骤 11.3.1
每一项乘以 。
解题步骤 11.3.2
化简每一项。
解题步骤 11.3.2.1
组合 和 。
解题步骤 11.3.2.2
约去 的公因数。
解题步骤 11.3.2.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.3.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 11.3.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 11.3.2.3
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 11.3.3
将 移到 的左侧。
解题步骤 11.4
将左边重写为对积求导的结果。
解题步骤 11.5
在两边建立积分。
解题步骤 11.6
对左边积分。
解题步骤 11.7
对右边积分。
解题步骤 11.7.1
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 11.7.2
根据幂法则, 对 的积分是 。
解题步骤 11.7.3
化简答案。
解题步骤 11.7.3.1
将 重写为 。
解题步骤 11.7.3.2
化简。
解题步骤 11.7.3.2.1
组合 和 。
解题步骤 11.7.3.2.2
约去 的公因数。
解题步骤 11.7.3.2.2.1
约去公因数。
解题步骤 11.7.3.2.2.2
重写表达式。
解题步骤 11.7.3.2.3
将 乘以 。
解题步骤 11.8
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 11.8.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 11.8.2
化简左边。
解题步骤 11.8.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 11.8.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 11.8.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 11.8.3
化简右边。
解题步骤 11.8.3.1
约去 和 的公因数。
解题步骤 11.8.3.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.8.3.1.2
约去公因数。
解题步骤 11.8.3.1.2.1
乘以 。
解题步骤 11.8.3.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 11.8.3.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 11.8.3.1.2.4
用 除以 。
解题步骤 12
代入 替换 。
解题步骤 13
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 14
解题步骤 14.1
取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。
解题步骤 14.2
展开左边。
解题步骤 14.2.1
通过将 移到对数外来展开 。
解题步骤 14.2.2
的自然对数为 。
解题步骤 14.2.3
将 乘以 。