微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

解题步骤 2.3.3

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

解题步骤 2.3.4

使 $u = t - 3$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.4.1

设 $u = t - 3$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $t - 3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 2.3.4.1.2

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 2.3.4.1.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

使用 $t - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $t$ ，将 $4$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ 中求 $K$ 的值。

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

解题步骤 4.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

解题步骤 4.2.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

解题步骤 4.2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

解题步骤 4.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

解题步骤 4.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

解题步骤 4.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

解题步骤 4.2.6.2

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\frac{13}{2} + K = 4$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{13}{2}$ 。

$K = 4 - \frac{13}{2}$

解题步骤 4.3.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

解题步骤 4.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$K = \frac{8 - 13}{2}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $8$ 中减去 $13$ 。

$K = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{5}{2}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{5}{2}$ 替换 $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{5}{2}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.3

要将 $2 e^{t - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.4

组合 $2 e^{t - 3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$

微积分学 示例

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