微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

解题步骤 2.3.4

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $0$ 代入 $s$ ，在 $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$ 。

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0 + \sin (0) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 0 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

合并 $0 + 0 + K$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 0$

解题步骤 5

代入 $0$ 替换 $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $0$ 替换 $K$ 。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + 0$

解题步骤 5.2

将 $\frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$ 和 $0$ 相加。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t)$

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