微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $5 y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 5$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 5 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 5 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 5 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 5 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 5 x}$ 。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

解题步骤 3.3

将 $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 5 x}$ 。

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $e^{- 5 x}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

解题步骤 7.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

解题步骤 7.3

由于 $- \frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

解题步骤 7.4.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

解题步骤 7.5

使 $u = - 5 x$ 。然后使 $d u = - 5 d x$ ，以便 $- \frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = - 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $- 5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

解题步骤 7.6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 7.7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

解题步骤 7.8

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.9.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

解题步骤 7.11

化简。

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解题步骤 7.11.1

将 $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 7.11.2

化简。

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解题步骤 7.11.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 7.11.2.2

组合 $e^{- 5 x}$ 和 $\frac{x}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 7.12

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

解题步骤 7.13

组合 $e^{- 5 x}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

解题步骤 7.14

重新排序项。

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $e^{- 5 x}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

解题步骤 8.1.3

组合 $e^{- 5 x}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

解题步骤 8.2

将 $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 5 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 5 x}$ 。

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $e^{- 5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

将 $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ 乘以 $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ 。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3

约去 $e^{- 5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.3.1

约去公因数。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.3.2

重写表达式。

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.5

将 $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ 乘以 $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ 。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.6

约去 $e^{- 5 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.6.1

约去公因数。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 8.2.3.1.6.2

重写表达式。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ 中求 $C$ 的值。

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ 。

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

解题步骤 10.2

化简 $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ 。

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解题步骤 10.2.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

解题步骤 10.2.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

解题步骤 10.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

解题步骤 10.2.2.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

解题步骤 10.2.2.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

解题步骤 10.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{25}$ 。

$- \frac{1}{25} + C = 3$

解题步骤 10.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.3.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{25}$ 。

$C = 3 + \frac{1}{25}$

解题步骤 10.3.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

解题步骤 10.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

解题步骤 10.3.4

在公分母上合并分子。

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

解题步骤 10.3.5

化简分子。

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解题步骤 10.3.5.1

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$C = \frac{75 + 1}{25}$

解题步骤 10.3.5.2

将 $75$ 和 $1$ 相加。

$C = \frac{76}{25}$

解题步骤 11

代入 $\frac{76}{25}$ 替换 $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $\frac{76}{25}$ 替换 $C$ 。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

解题步骤 11.2.2

合并。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

解题步骤 11.2.3

将 $76$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$

微积分学 示例

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