微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y \sqrt{y + 1}$ 。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}})$

解题步骤 1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - y \sqrt{y + 1} \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y \sqrt{y + 1}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

从 $- y \sqrt{y + 1}$ 中分解出因数 $y \sqrt{y + 1}$ 。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- 1) \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

解题步骤 1.2.2.2

约去公因数。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} \cdot - 1 \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

解题步骤 1.2.2.3

重写表达式。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y \sqrt{y + 1} d y = (- x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y \sqrt{y + 1} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = \sqrt{y + 1}$ 。

$y (\frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$y \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $y$ 和 $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y) = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.4.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}) = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1})$ 重写为 $\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}$ 。

$\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y$ 。

$\frac{2 y}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.2

组合 $\frac{2 y}{3}$ 和 ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.6

要将 $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.7

组合 $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.9

组合 $u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{4}{15}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.12

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.13

从 $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.14

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.2.14.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.14.2

约去公因数。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.14.3

重写表达式。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.16

要将 $2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.17

组合 $2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.18

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.19

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.20

将 $\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ 重写为乘积形式。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.21

将 $\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6.2.22

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.8

重新排序项。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) = - \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

微积分学 示例

微积分学示例