微积分学示例

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ 中的每一项除以 $e^{t}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ 中的每一项都除以 $e^{t}$ 。

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $e^{t}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 2}$ 对 $y$ 的积分是 $- y^{- 1}$ 。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.2.3

将 $- y^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $e^{t}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2

化简。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 ${(e^{t})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $t$ 的左侧。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

解题步骤 2.3.1.2.1.3

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $e^{- t}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = - t$ 。然后使 $d u = - d t$ ，以便 $- d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = - t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $- t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ 中的每一项乘以 $y$ 。

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $- e^{- t} y + K y$ 中的因式重新排序。

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- y e^{- t} + K y = - 1$ 。

$- y e^{- t} + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $- y e^{- t} + K y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $- y e^{- t}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $y (- 1 e^{- t}) + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

解题步骤 3.3.4

将 $y (- e^{- t} + K) = - 1$ 中的每一项除以 $- e^{- t} + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $y (- e^{- t} + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $- e^{- t} + K$ 。

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

解题步骤 3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.4.2.1

约去 $- e^{- t} + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

解题步骤 3.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

解题步骤 3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

解题步骤 3.3.4.3.2

从 $- e^{- t}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

解题步骤 3.3.4.3.3

从 $K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

解题步骤 3.3.4.3.4

从 $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

解题步骤 3.3.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.4.3.5.1

将 $- (e^{- t} - K)$ 重写为 $- 1 (e^{- t} - K)$ 。

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

解题步骤 3.3.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

解题步骤 3.3.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

解题步骤 3.3.4.3.5.4

将 $\frac{1}{e^{- t} - K}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $\frac{1}{4}$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ 中求 $K$ 的值。

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1 + K, 4$

解题步骤 6.3.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 6.3.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 6.3.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2$

解题步骤 6.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 6.3.6

$1 + K$ 的因式是 $1 + K$ 本身。

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 6.3.7

$1 + K$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$1 + K$

解题步骤 6.3.8

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$4 (1 + K)$

解题步骤 6.4

将 $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ 中的每一项乘以 $4 (1 + K)$ 以消去分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ 中的每一项乘以 $4 (1 + K)$ 。

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{1 + K}$ 。

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.2.3

约去 $1 + K$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.2.3.2

重写表达式。

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1.1

约去公因数。

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

解题步骤 6.4.3.1.2

重写表达式。

$4 = 1 + K$

解题步骤 6.5

求解方程。

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解题步骤 6.5.1

将方程重写为 $1 + K = 4$ 。

$1 + K = 4$

解题步骤 6.5.2

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 4 - 1$

解题步骤 6.5.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$K = 3$

解题步骤 7

代入 $3$ 替换 $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $3$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$

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