微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $1 + 2 y$ 。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

解题步骤 1.2

约去 $1 + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

化简。

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

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解题步骤 2.2.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

约去公因数。

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

重写表达式。

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.5.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.6

重新排序项。

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ 。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} + y = x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} + y - x^{2} = K$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = - x^{2} - K$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

解题步骤 3.5

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$

微积分学 示例

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