微积分学示例

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

解题步骤 1.1.3

从 $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- 2 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ 中的每一项除以 $- y^{3} - 2$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ 中的每一项都除以 $- y^{3} - 2$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $- y^{3} - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

解题步骤 1.1.4.3.2

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

解题步骤 1.1.4.3.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

解题步骤 1.1.4.3.4

从 $- (y^{3}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

解题步骤 1.1.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.4.3.5.1

将 $- (y^{3} + 2)$ 重写为 $- 1 (y^{3} + 2)$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

解题步骤 1.1.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

解题步骤 1.1.4.3.5.4

将 $\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y^{3} + 2$ 。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

解题步骤 1.3

约去 $y^{3} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{3}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{4} y^{4}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

微积分学 示例

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