微积分学示例

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x) d x + e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)]$

解题步骤 1.2

因为 $2 e^{2 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 对 $y$ 的导数是 $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = x^{2} - y + x$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \frac{d}{d y} [x^{2} - y + x] + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x^{2} - y + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.7

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + 0) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.8

化简表达式。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \cdot - 1 + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.8.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- 1 \cdot y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.8.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.4.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.10

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.4.10.1

将 $x^{2} - y + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + x^{2} - y + x)$

解题步骤 1.4.10.2

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (x^{2} - 2 y + x)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} (- 2 y) + 2 e^{2 x} x$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} - 2 y)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y] + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + 0) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.5.3

化简表达式。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 2.5.3.2

将 $2$ 移到 $(x^{2} - 2 y) e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 \cdot ((x^{2} - 2 y) e^{2 x})$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (2 x^{2} + 2 (- 2 y)) e^{2 x}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 (- 2 y) e^{2 x}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

解题步骤 2.6.4

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$

解题步骤 2.6.5

将 $2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $e^{2 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $e^{2 x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = e^{2 x} \int x^{2} - 2 y d y$

解题步骤 5.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = e^{2 x} (\int x^{2} d y + \int - 2 y d y)$

解题步骤 5.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C + \int - 2 y d y)$

解题步骤 5.4

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 \int y d y)$

解题步骤 5.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})]$ 。

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解题步骤 8.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = x^{2} y - y^{2}$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} y - y^{2}] + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.2

根据加法法则， $x^{2} y - y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 。

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{2 x} (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.5

因为 $- y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 8.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.9

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$e^{2 x} (2 \cdot y x + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.10

将 $2 y x$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.12

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.3.13

将 $2$ 移到 $x^{2} y - y^{2}$ 的左侧。

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

运用分配律。

$e^{2 x} (2 y x) + (2 (x^{2} y) + 2 (- y^{2})) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.5.2

运用分配律。

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y) e^{2 x} + 2 (- y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} (2 y x) + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 8.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

解题步骤 9.1.2

化简 $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 。

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解题步骤 9.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y e^{2 x} (- y) + 2 y e^{2 x} x$

解题步骤 9.1.2.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 9.1.2.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 (y \cdot y) e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

解题步骤 9.1.2.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y^{2} e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

解题步骤 9.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$

解题步骤 9.1.2.4

将 $2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.3.1

从等式两边同时减去 $2 x y e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.2

从等式两边同时减去 $2 x^{2} y e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.3

在等式两边都加上 $2 y^{2} e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4

合并 $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.3.4.1

按照 $2 y x e^{2 x}$ 和 $- 2 x y e^{2 x}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} x y - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.2

从 $2 e^{2 x} x y$ 中减去 $2 e^{2 x} x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.3

将 $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.4

按照 $2 y x^{2} e^{2 x}$ 和 $- 2 x^{2} y e^{2 x}$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.5

从 $2 e^{2 x} x^{2} y$ 中减去 $2 e^{2 x} x^{2} y$ 。

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.6

将 $- 2 y^{2} e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 9.1.3.4.7

将 $- 2 y^{2} e^{2 x}$ 和 $2 y^{2} e^{2 x}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 10

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 10.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 10.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

解题步骤 12

化简 $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$ 。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) + e^{2 x} (- y^{2}) + C$

解题步骤 12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$

解题步骤 12.2

将 $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$

微积分学 示例

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