微积分学示例

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x d x$ 。

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ 。

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

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