微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 7 x + 9$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 4$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 4 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{4 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{4 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (7 x) + e^{4 x} \cdot 9$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 9$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$

解题步骤 2.4

将 $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 7 e^{4 x} x + 9 e^{4 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} + 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{4 x} y = \int 7 x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.2

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 7 \int x e^{4 x} d x + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.6

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.6.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 6.6.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 6.6.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 6.6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.7

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.9.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.10

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int 9 e^{4 x} d x$

解题步骤 6.11

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{4 x} d x$

解题步骤 6.12

使 $u_{2} = 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.12.1

设 $u_{2} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.12.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 6.12.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 6.12.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 6.12.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 6.13

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 6.14

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + 9 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.15

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $9$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6.16

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{9}{4} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 6.17

化简。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.18.1

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 6.18.2

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + \frac{9}{4} e^{4 x} + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $e^{4 x}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

解题步骤 7.1.2

去掉圆括号。

$e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot x e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{4 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{4 x} y = 7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16})}{e^{4 x}} + \frac{\frac{9}{4} \cdot e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{7 (\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.2.1

乘以 $\frac{1}{4} (x e^{4 x})$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{7 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.1.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.2

运用分配律。

$y = \frac{7 \frac{x e^{4 x}}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{x e^{4 x}}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + 7 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.4

乘以 $7 (- \frac{e^{4 x}}{16})$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} - 7 \frac{e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.4.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{e^{4 x}}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{7 (x e^{4 x})}{4} + \frac{- 7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9}{4} \cdot e^{4 x} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.2.6

组合 $\frac{9}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.3

要将 $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.4.1

将 $\frac{9 e^{4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.4.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} - \frac{7 e^{4 x}}{16} + \frac{9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5

化简项。

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解题步骤 7.2.3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1.1

从 $- 7 e^{4 x} + 9 e^{4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.1

从 $- 7 e^{4 x}$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + 9 e^{4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.2

从 $9 e^{4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.1.3

从 $e^{4 x} \cdot - 7 + e^{4 x} (9 \cdot 4)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 9 \cdot 4)}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} (- 7 + 36)}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.1.3

将 $- 7$ 和 $36$ 相加。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.5.2.2

将 $29$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.1

要将 $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.6.2.1

将 $\frac{7 x e^{4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4}{16} + \frac{29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.4.1

从 $7 x e^{4 x} \cdot 4 + 29 e^{4 x}$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

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解题步骤 7.2.3.6.4.1.1

从 $7 x e^{4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + 29 e^{4 x}}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.1.2

从 $29 e^{4 x}$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.1.3

从 $e^{4 x} (7 x \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 29$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (7 x \cdot 4 + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.4.2

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.6

组合 $C$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x + 29) + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.6.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{4 x} (28 x) + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + e^{4 x} \cdot 29 + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.3

将 $29$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 \cdot e^{4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.6.8.4

将 $16$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.8

将 $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16}$ 乘以 $\frac{1}{e^{4 x}}$ 。

$y = \frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$

解题步骤 7.2.3.9

将 $\frac{28 e^{4 x} x + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{28 x e^{4 x} + 29 e^{4 x} + 16 C}{16 e^{4 x}}$

微积分学 示例

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