微积分学示例

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

乘以 $- (3 y + 7)$ 。

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.6

应用常数不变法则。

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.7

化简。

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解题步骤 2.2.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.7.2

化简。

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.2.8

重新排序项。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

解题步骤 3.2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

解题步骤 3.2.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

解题步骤 3.3

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- \frac{3 y^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

解题步骤 3.3.3

移动 $- 14 y$ 。

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

解题步骤 3.3.4

移动 $2 x$ 。

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

解题步骤 3.3.5

将 $- 3 y^{2}$ 和 $- 2 x^{2}$ 重新排序。

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = - 3$ 、 $b = - 14$ 和 $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 14$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.4

化简。

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解题步骤 3.6.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.4.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5

从 $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.6.1.5.1

从 $196$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.2

从 $- 24 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.3

从 $- 24 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.4

从 $24 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.5

从 $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.6

从 $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.5.7

从 $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.6

将 $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ 重写为 $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ 。

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解题步骤 3.6.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.6.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.1.8

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ 。

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

解题步骤 3.6.4

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

微积分学 示例

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