微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{r^{2}}$ 。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

解题步骤 1.2.2

约去 $r^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $r^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(r^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $r^{- 2}$ 对 $r$ 的积分是 $- r^{- 1}$ 。

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.2.3

将 $- r^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{r} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{θ}$ 对 $θ$ 的积分为 $\ln (| θ |)$ 。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$r, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$r$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ 中的每一项乘以 $r$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ 中的每一项乘以 $r$ 。

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $r$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{r}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $\ln (| θ |) r + C r$ 中的因式重新排序。

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ 。

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $r \ln (| θ |) + C r$ 中分解出因数 $r$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $C r$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $r \ln (| θ |) + r C$ 中分解出因数 $r$ 。

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ 中的每一项除以 $\ln (| θ |) + C$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ 中的每一项都除以 $\ln (| θ |) + C$ 。

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $\ln (| θ |) + C$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $r$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $θ$ ，将 $2$ 代入 $r$ ，在 $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ 中求 $C$ 的值。

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

解题步骤 5

求解 $C$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ 。

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

解题步骤 5.2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 5.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

解题步骤 5.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

解题步骤 5.2.3

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$- \frac{1}{C} = 2$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$C, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$C$

解题步骤 5.4

将 $- \frac{1}{C} = 2$ 中的每一项乘以 $C$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{1}{C} = 2$ 中的每一项乘以 $C$ 。

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $C$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{C}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

解题步骤 5.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

解题步骤 5.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = 2 C$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $2 C = - 1$ 。

$2 C = - 1$

解题步骤 5.5.2

将 $2 C = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $2 C = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$C = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $C$ 。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

要将 $\ln (| θ |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

组合 $\ln (| θ |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

解题步骤 6.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.1

乘以 $\ln (| θ |) \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.4.1.1

将 $\ln (| θ |)$ 和 $2$ 重新排序。

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

解题步骤 6.2.4.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \cdot \ln (| θ |)$ 。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

解题步骤 6.2.4.2

去掉 ${| θ |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

解题步骤 6.3

将分子乘以分母的倒数。

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

解题步骤 6.4

将 $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ 乘以 $1$ 。

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$

微积分学 示例

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