微积分学示例

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.2

由于 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 2.3.4

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $\frac{π}{2}$ 代入 $t$ ，将 $- 7$ 代入 $v$ ，在 $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ 。

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

约去公因数。

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

重写表达式。

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.1.4

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$π^{2} - 0 + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π^{2} + 0 + K = - 7$

解题步骤 4.2.1.2

将 $π^{2}$ 和 $0$ 相加。

$π^{2} + K = - 7$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $π^{2}$ 。

$K = - 7 - π^{2}$

解题步骤 5

代入 $- 7 - π^{2}$ 替换 $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 7 - π^{2}$ 替换 $K$ 。

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$

微积分学 示例

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