微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{2} d y = x^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

从 $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

从 $\frac{3 x^{4}}{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

解题步骤 3.4.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

解题步骤 3.4.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

解题步骤 3.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

解题步骤 3.4.5

组合 $3$ 和 $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

解题步骤 3.4.6

将 $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 3.4.7

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.1

将 $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.8.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 3.4.8.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.8.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.8.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.8.5.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.8.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.8.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 3.4.8.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.9.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

解题步骤 3.4.9.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

解题步骤 3.4.9.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.9.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

解题步骤 3.4.9.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.4.9.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

解题步骤 3.4.9.5

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.9.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 3.4.9.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

解题步骤 3.4.10

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.10.2

约去公因数。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.10.3

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $2$ 代入 $x$ ，将 $\sqrt[3]{15}$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ 中求 $K$ 的值。

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ 。

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

解题步骤 6.2

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

解题步骤 6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

化简 $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

解题步骤 6.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

将 $2$ 移到 $\sqrt[3]{15}$ 的左侧。

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

解题步骤 6.4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ 重写成 ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1

化简 ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1.1

将 ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

运用分配律。

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2.1.3

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.2.1.3.1

将 $6$ 乘以 $16$ 。

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.2.1.3.2

化简。

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.3.1

化简 ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.3.1.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.3.1.1.1

对 $2 \sqrt[3]{15}$ 运用乘积法则。

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

解题步骤 6.4.2.3.1.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2

将 ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ 重写为 $15$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{3}}$ 。

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.5

计算指数。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

解题步骤 6.4.2.3.1.3

将 $8$ 乘以 $15$ 。

$96 + 6 K = 120$

解题步骤 6.4.3

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.1

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.1.1

从等式两边同时减去 $96$ 。

$6 K = 120 - 96$

解题步骤 6.4.3.1.2

从 $120$ 中减去 $96$ 。

$6 K = 24$

解题步骤 6.4.3.2

将 $6 K = 24$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.1

将 $6 K = 24$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

解题步骤 6.4.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

解题步骤 6.4.3.2.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{24}{6}$

解题步骤 6.4.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.3.2.3.1

用 $24$ 除以 $6$ 。

$K = 4$

解题步骤 7

代入 $4$ 替换 $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

代入 $4$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$

微积分学 示例

微积分学示例