微积分学示例

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

设 $v = \frac{d y}{d x}$ 。然后 $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 。将 $v$ 代入 $\frac{d y}{d x}$ ，将 $\frac{d v}{d x}$ 代入 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ，得到一个因变量 $v$ 和自变量 $x$ 的微分方程。

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

解题步骤 2

检查方程的左侧是否是 $x v$ 项的导数的结果。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = v$ 。

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x v' + v \cdot 1$

解题步骤 2.4

代入 $\frac{d v}{d x}$ 替换 $v'$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $v$ 和 $1$ 重新排序。

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

解题步骤 2.6

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d v}{d x} + v$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x v = \int 0 d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$x v = 0 + C_{1}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C_{1}$ 相加。

$x v = C_{1}$

解题步骤 7

将 $x v = C_{1}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $x v = C_{1}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{C_{1}}{x}$

解题步骤 8

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换所有出现的 $v$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

解题步骤 9

重写该方程。

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

解题步骤 10

对两边积分。

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解题步骤 10.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

解题步骤 10.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

解题步骤 10.3

对右边积分。

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解题步骤 10.3.1

由于 $C_{1}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $C_{1}$ 移到积分外。

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 10.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

解题步骤 10.3.3

化简。

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 10.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = C \ln (| x |) + D$

微积分学 示例

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