微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $2 (- y)$ 。

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

解题步骤 1.1.3

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

解题步骤 1.2

用分离出来的系数重写方程。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

解题步骤 2.2

对 $- 2 \cdot - 1$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\int 2 d x}$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$e^{2 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

解题步骤 3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

解题步骤 3.5

将 $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

解题步骤 7.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

解题步骤 7.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

解题步骤 7.5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 7.6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 7.10

将 $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 7.11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 7.12.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.12.1.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

解题步骤 7.12.1.3

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.12.2

运用分配律。

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.12.3.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.12.3.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

解题步骤 7.12.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.12.4.1

将 $- \frac{e^{2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 7.12.4.2

约去公因数。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

解题步骤 7.12.4.3

重写表达式。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$

微积分学 示例

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