微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y - 5}$ 。

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

解题步骤 1.2

约去 $y - 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y - 5$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y - 5$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 5$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.3

要将 $\ln (| y - 5 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $\ln (| y - 5 |)$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.5

将 $5$ 移到 $\ln (| y - 5 |)$ 的左侧。

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.6

化简左边。

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解题步骤 3.6.1

化简 $\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (| y - 5 |)$ 。

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

解题步骤 3.6.1.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

解题步骤 3.6.1.2

将 $\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ 重写为 $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ 。

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

解题步骤 3.6.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ 。

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

解题步骤 3.6.1.4

对 $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ 运用乘积法则。

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.5.1

将 ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

解题步骤 3.6.1.5.2

化简。

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

解题步骤 3.7

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

解题步骤 3.8

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 3.9

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.1

将方程重写为 $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ 。

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

解题步骤 3.9.2

两边同时乘以 ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3.9.3

化简左边。

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解题步骤 3.9.3.1

约去 ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3.9.3.1.2

重写表达式。

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3.9.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.9.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3.9.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

微积分学 示例

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