微积分学示例

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ 中的每一项除以 $1 + \sin^{2} (x)$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ 中的每一项都除以 $1 + \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $1 + \sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ 。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

解题步骤 1.4

约去 $e^{- 2 y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $e^{- 2 y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $e^{2 y}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.2

使 $u_{1} = 2 y$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.2.1

设 $u_{1} = 2 y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.2.2.1.2

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.3

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.5

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ 。然后使 $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 + \sin^{2} (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.3.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

将 $0$ 和 $2 \sin (x) \cos (x)$ 相加。

$2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.3

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 2.3.1.1.4.4

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.5

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $1 + \sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 y}$ 。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

解题步骤 3.4

展开左边。

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解题步骤 3.4.1

通过将 $2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 y})$ 。

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

解题步骤 3.4.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

解题步骤 3.5

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ 。

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

解题步骤 3.6

将 $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

解题步骤 3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ 中求 $C$ 的值。

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ 。

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

化简 $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.1.2

重写表达式。

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.1.3

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (C) = 2$

解题步骤 6.4

要求解 $C$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

解题步骤 6.5

使用对数的定义将 $\ln (C) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2} = C$

解题步骤 6.6

将方程重写为 $C = e^{2}$ 。

$C = e^{2}$

解题步骤 7

代入 $e^{2}$ 替换 $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $e^{2}$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ 。

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

解题步骤 7.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ 。

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ 。

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

微积分学 示例

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