微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{2})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{2}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 6.1.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 6.1.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 6.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 6.2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 6.4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

化简。

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 6.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos (u)$ 。

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

解题步骤 6.6

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

解题步骤 6.7

重新排序项。

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

解题步骤 7

将 $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{\cos (3 x)}{3}$ 。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4

将 $3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

微积分学 示例

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