微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.1.1.1

从 $4 x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

解题步骤 2.3.1.1.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

解题步骤 2.3.1.1.1.3

从 $x \cdot 4 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

解题步骤 2.3.1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $4 - x$ 。

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (4 - x)$ 。

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.5

约去 $4 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.5.2

用 $1 - 2 x$ 除以 $1$ 。

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.6

将 $1$ 和 $- 2 x$ 重新排序。

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1.7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.7.1.1

约去公因数。

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.1.2

用 $A (4 - x)$ 除以 $1$ 。

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.2

运用分配律。

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.5

约去 $4 - x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.7.5.1

约去公因数。

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.1.7.5.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

解题步骤 2.3.1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1.8.1

移动 $A$ 。

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

解题步骤 2.3.1.1.8.2

将 $B$ 和 $x$ 重新排序。

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

解题步骤 2.3.1.1.8.3

移动 $4 A$ 。

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

解题步骤 2.3.1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 2 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3.1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 4 A$

解题步骤 2.3.1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

解题步骤 2.3.1.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1.3.1

在 $1 = 4 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将方程重写为 $4 A = 1$ 。

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $4 A = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

将 $4 A = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

解题步骤 2.3.1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.2.1

使用 $\frac{1}{4}$ 替换 $- 2 = - 1 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.2.2.1

将 $- 1 (\frac{1}{4})$ 重写为 $- (\frac{1}{4})$ 。

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3

在 $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.3.1

将方程重写为 $- \frac{1}{4} + B = - 2$ 。

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1.3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{4}$ 。

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.3.3.2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.5.2

将 $- 8$ 和 $1$ 相加。

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.4

求解方程组。

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.3.5

列出所有解。

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.3.1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.5.4

将 $\frac{1}{4 - x}$ 乘以 $\frac{7}{4}$ 。

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

解题步骤 2.3.1.5.5

将 $4$ 移到 $4 - x$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $\frac{7}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{7}{4}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

解题步骤 2.3.7

使 $u = 4 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.7.1

设 $u = 4 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.7.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.3.7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 2.3.8

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.10

化简。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.10.2

将 $\frac{7}{4}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

解题步骤 2.3.12

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.13

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$

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