微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

解题步骤 1

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

解题步骤 2

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 3

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 4

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

解题步骤 5

求解代入的微分方程。

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解题步骤 5.1

分离变量。

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解题步骤 5.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

解题步骤 5.1.1.1.2

合并 $V + \cos^{2} (V) - V$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

解题步骤 5.1.1.1.2.2

将 $0$ 和 $\cos^{2} (V)$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

解题步骤 5.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

解题步骤 5.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

解题步骤 5.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

合并。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

解题步骤 5.1.3.2

约去 $\cos^{2} (V)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

解题步骤 5.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 5.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2

对两边积分。

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解题步骤 5.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.2

对左边积分。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ 转换成 $\sec^{2} (V)$ 。

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.2.2

因为 $\tan (V)$ 的导数为 $\sec^{2} (V)$ ，所以 $\sec^{2} (V)$ 的积分为 $\tan (V)$ 。

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 5.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 5.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $V$ 。

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 7.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$

微积分学 示例

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