微积分学示例

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\frac{w}{25}$ 。

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

解题步骤 1.2

用分离出来的系数重写方程。

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{1}{25}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{25} t}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{1}{25}$ 和 $t$ 。

$e^{\frac{t}{25}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{25}$ 和 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ 和 $w$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $e^{\frac{t}{25}}$ 乘以 $e^{\frac{- 1}{25} t}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $e^{\frac{- 1}{25} t}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.3

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.3.2

组合 $t$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

解题步骤 3.4.4

将 $- \frac{t}{25}$ 和 $\frac{t}{25}$ 相加。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

解题步骤 3.5

化简 $10 e^{0}$ 。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

解题步骤 3.6

将 $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

解题步骤 8

将 $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{t}{25}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{t}{25}}$ 。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{\frac{t}{25}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $w$ 除以 $1$ 。

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

微积分学 示例

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