微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $12$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 3 t^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 6 t d t$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 3 t^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $3 t^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $3 t^{2} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$6 t + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$6 t$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $12$ 。

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $12$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

重写表达式。

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ 。

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2.2

约去公因数。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2.2.3

重写表达式。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $3 t^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $14$ 代入 $s$ ，在 $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ 中求 $K$ 的值。

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ 。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

解题步骤 4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

解题步骤 4.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $2^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

解题步骤 4.2.3.3

重写表达式。

$2^{3} + K = 14$

解题步骤 4.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + K = 14$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$K = 14 - 8$

解题步骤 4.3.2

从 $14$ 中减去 $8$ 。

$K = 6$

解题步骤 5

代入 $6$ 替换 $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $6$ 替换 $K$ 。

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用二项式定理。

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $3 t^{2}$ 运用乘积法则。

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.3

将 ${(t^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.4

对 $3 t^{2}$ 运用乘积法则。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.6

将 ${(t^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.7

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.8

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.9

对 $3 t^{2}$ 运用乘积法则。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.11

将 ${(t^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.12

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.14

将 $54$ 乘以 $1$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.15

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.16

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.17

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

解题步骤 5.2.2.18

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4

化简。

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解题步骤 5.2.4.1

乘以 $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1

组合 $81$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.1.2

组合 $\frac{81}{2}$ 和 $t^{8}$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $- 108 t^{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.2.3

重写表达式。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $54 t^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.3.2

约去公因数。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.3.3

重写表达式。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $- 12 t^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.4.2

约去公因数。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.4.3

重写表达式。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

解题步骤 5.2.4.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

解题步骤 5.3

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.4

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

解题步骤 5.6.2

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$

微积分学 示例

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