微积分学示例

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(1 + \sin (x)) d x$ 。

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.5

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

化简。

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2

化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.2.6.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$

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