微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 0$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

解题步骤 1.2

对 $3 x^{2}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{3 \int x^{2} d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 重写为 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 。

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 x^{3} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x^{3} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x^{3}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x^{3}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x^{3}}$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{x^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int 0 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x^{3}} y = \int 0 d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{x^{3}} y = 0 + C$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{x^{3}} y = C$

解题步骤 7

将 $e^{x^{3}} y = C$ 中的每一项除以 $e^{x^{3}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x^{3}} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{x^{3}}$ 。

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x^{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{C}{e^{x^{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{x^{3}}}$

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