微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $y x^{4} + \frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $y x^{4}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $\frac{y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

解题步骤 1.2.2

要将 $x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

解题步骤 1.2.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

解题步骤 1.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将分数分解成多个分数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.4

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 3.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ 。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

解题步骤 3.6.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

解题步骤 3.6.3

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

解题步骤 3.6.3.1.2

重写表达式。

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

解题步骤 3.6.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

将 $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

解题步骤 3.6.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ 。

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$

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