微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

将 $y^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = x + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (x + K)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = \tan (x + K)$ 中求 $K$ 的值。

$0 = \tan (1 + K)$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将方程重写为 $\tan (1 + K) = 0$ 。

$\tan (1 + K) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $K$ 。

$1 + K = \arctan (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$1 + K = 0$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = - 1$

解题步骤 5.5

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$1 + K = π + 0$

解题步骤 5.6

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$1 + K = π$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = π - 1$

解题步骤 5.7

求 $\tan (1 + K)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.8

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.8.1

将 $π$ 加到 $- 1$ 以求正角。

$- 1 + π$

解题步骤 5.8.2

列出新角。

$K = - 1 + π$

解题步骤 5.9

$\tan (1 + K)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.10

将 $- 1 + π + π n$ 和 $π - 1 + π + π n$ 合并为 $- 1 + π + π n$ 。

$K = - 1 + π + π n$

解题步骤 6

代入 $- 1 + π + π n$ 替换 $y = \tan (x + K)$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

代入 $- 1 + π + π n$ 替换 $K$ 。

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$

微积分学 示例

微积分学示例