微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 1 - x + 4 y$

解题步骤 1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 1 - x$

解题步骤 1.2

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - 4 y = - x + 1$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 4$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 4 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 4 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 4 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 4 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 1$

解题步骤 3.3.2

将 $e^{- 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - \int x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 4 x}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.4.3

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.6

化简。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.6.2

将 $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.8

使 $u_{1} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.8.1

设 $u_{1} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.8.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 7.8.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 7.8.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 7.8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.9

化简。

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解题步骤 7.9.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.9.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.10

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1})) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.12

化简。

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解题步骤 7.12.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.12.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.13

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7.14

使 $u_{2} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.14.1

设 $u_{2} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.14.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 7.14.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 7.14.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 7.14.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

解题步骤 7.15

化简。

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解题步骤 7.15.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

解题步骤 7.15.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 7.16

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 7.17

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7.18

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 7.19

化简。

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解题步骤 7.19.1

化简。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2

化简。

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解题步骤 7.19.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2.2

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.19.2.3

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.20.1

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 7.20.2

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21

化简。

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解题步骤 7.21.1

运用分配律。

$e^{- 4 x} y = - - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.2

乘以 $- - \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ 。

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解题步骤 7.21.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 x} y = 1 \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.2.2

将 $\frac{e^{- 4 x} x}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.3

乘以 $- - \frac{e^{- 4 x}}{16}$ 。

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解题步骤 7.21.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + 1 \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.3.2

将 $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.4

将 $\frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 7.21.5

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$

解题步骤 7.22

重新排序项。

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 4 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 4 x}$ 。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- 4 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.2.3

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.2.4

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.3

要将 $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 8.3.4.1

将 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.4.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5

化简项。

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解题步骤 8.3.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.5.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.5.2.1.1

从 $e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

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解题步骤 8.3.5.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.1.1.2

从 $- e^{- 4 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.1.1.3

从 $e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.2

将 $- 3$ 移到 $e^{- 4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6

化简分子。

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解题步骤 8.3.6.1

要将 $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 8.3.6.2.1

将 $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.4

化简分子。

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解题步骤 8.3.6.4.1

将 $4$ 移到 $x e^{- 4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{4 \cdot (x e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.4.2

从 $4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

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解题步骤 8.3.6.4.2.1

从 $4 x e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.4.2.2

从 $- 3 e^{- 4 x}$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.4.2.3

从 $e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3$ 中分解出因数 $e^{- 4 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.6

组合 $C$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.8

化简分子。

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解题步骤 8.3.6.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.8.3

将 $- 3$ 移到 $e^{- 4 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.6.8.4

将 $16$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.8

将 $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ 。

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

解题步骤 8.3.9

将 $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

微积分学 示例

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