微积分学示例

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为

$\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

假设

$\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

解题步骤 1.2

把

$\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ 和

$\sqrt{x^{2}}$ 组合为一个单根式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

拆分

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1

分解分数

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

约去

$x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

将

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 重写为

${(\frac{y}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

设

$V = \frac{y}{x}$ 。将

$V$ 代入

$\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

解题步骤 3

求解

$y$ 的

$V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求

$y = V x$ 对

$x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入

$x \frac{d V}{d x} + V$ 替换

$\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解

$\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = 1$ 和

$b = V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含

$\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去

$V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并

$V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从

$V$ 中减去

$V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将

$0$ 和

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.3

将

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 中的每一项除以

$x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 中的每一项都除以

$x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用

$\frac{d V}{d x}$ 除以

$1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

配方。

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解题步骤 6.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(1 + V) (1 - V)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.1

将

$1$ 乘以

$1$ 。

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.2

将

$- V$ 乘以

$1$ 。

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.3

将

$V$ 乘以

$1$ 。

$1 - V + V + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - V + V - V \cdot V$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5

通过指数相加将

$V$ 乘以

$V$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5.1

移动

$V$ 。

$1 - V + V - (V \cdot V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5.2

将

$V$ 乘以

$V$ 。

$1 - V + V - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

将

$- V$ 和

$V$ 相加。

$1 + 0 - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.3

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$1 - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

将

$1$ 和

$- V^{2}$ 重新排序。

$- V^{2} + 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

$a$ 、

$b$ 和

$c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

解题步骤 6.2.2.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.2.2.1.4

使用公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

$d$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

将

$a$ 和

$b$ 的值代入公式

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1

约去

$0$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1.1

从

$0$ 中分解出因数

$2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.1.2

移动

$\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2

将

$- 1 \cdot 0$ 重写为

$- 0$ 。

$d = - 0$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.3

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$d = 0$

解题步骤 6.2.2.1.5

使用公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

$e$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

将

$c$ 、

$b$ 和

$a$ 的值代入公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.2

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.3

用

$0$ 除以

$- 4$ 。

$e = 1 - 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.4

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$e = 1 + 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$e = 1$

解题步骤 6.2.2.1.6

将

$a$ 、

$d$ 和

$e$ 的值代入顶点式

$- {(V + 0)}^{2} + 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使

$u = V + 0$ 。然后使

$d u = d V$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.2.1

设

$u = V + 0$ 。求

$\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对

$V + 0$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则，

$V + 0$ 对

$V$ 的导数是

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ 。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于

$n V^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

因为

$0$ 对于

$V$ 是常数，所以

$0$ 对

$V$ 的导数为

$0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

将

$- u^{2}$ 和

$1^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对

$u$ 的积分为

$\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

使用

$V + 0$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

将

$V$ 和

$0$ 相加。

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\ln (| x |)$ 。

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为

$C$ 。

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的

$V$ 。

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入

$\frac{y}{x}$ 替换

$V$ 。

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解

$y$ 的

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以

$x$ 。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将

$\sin (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$

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