微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

假设 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

解题步骤 1.2

把 $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ 和 $\sqrt{x^{2}}$ 组合为一个单根式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

拆分 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1

分解分数 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

解题步骤 6.1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去 $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

配方。

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解题步骤 6.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + V) (1 - V)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.2

将 $- V$ 乘以 $1$ 。

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.3

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$1 - V + V + V (- V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - V + V - V \cdot V$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5.1

移动 $V$ 。

$1 - V + V - (V \cdot V)$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.1.5.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$1 - V + V - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

将 $- V$ 和 $V$ 相加。

$1 + 0 - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - V^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

将 $1$ 和 $- V^{2}$ 重新排序。

$- V^{2} + 1$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

解题步骤 6.2.2.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.2.2.1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.4.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.1.2

移动 $\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.2

将 $- 1 \cdot 0$ 重写为 $- 0$ 。

$d = - 0$

解题步骤 6.2.2.1.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$d = 0$

解题步骤 6.2.2.1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.2.2.1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$e = 1 - 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 1 + 0$

解题步骤 6.2.2.1.5.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e = 1$

解题步骤 6.2.2.1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(V + 0)}^{2} + 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使 $u = V + 0$ 。然后使 $d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.2.1

设 $u = V + 0$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $V + 0$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则， $V + 0$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ 。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

因为 $0$ 对于 $V$ 是常数，所以 $0$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $- u^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

使用 $V + 0$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

将 $V$ 和 $0$ 相加。

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $V$ 。

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $\sin (\ln (| x |) + C) x$ 中的因式重新排序。

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$

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