微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\sqrt{y}$ 。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

合并。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.4

重写表达式。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.5

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.6

用 $y^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

运用分配律。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

合并。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $K$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2.4

用 $x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.4.1.2

化简。

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$

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