微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- \frac{2 y}{x + 1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $- \frac{2}{x + 1}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{2}{x + 1}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

解题步骤 2.2.4

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.4.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2.4.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 2.2.6

化简。

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

解题步骤 2.2.7

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

${(x + 1)}^{- 2}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{2}{x + 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{2 y}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x + 1$ 乘以 ${(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.3

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = 1$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = 1$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = x + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = x + C$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.3.1.1.2

重写表达式。

$y = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $(x + C) {(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

运用分配律。

$y = x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2

将 $x {(x + 1)}^{2}$ 和 $C {(x + 1)}^{2}$ 重新排序。

$y = C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4

化简 $C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$y = C ((x + 1) (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 8.4.1.2.1

运用分配律。

$y = C (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.2.2

运用分配律。

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.2.3

运用分配律。

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = C (x^{2} + x + x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$y = C (x^{2} + 2 x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.4

运用分配律。

$y = C (x^{2}) + C (2 x) + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.5

化简。

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解题步骤 8.4.1.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.5.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 8.4.1.6

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x ((x + 1) (x + 1))$

解题步骤 8.4.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 8.4.1.7.1

运用分配律。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

解题步骤 8.4.1.7.2

运用分配律。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

解题步骤 8.4.1.7.3

运用分配律。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.4.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.4.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.4.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.4.1.8.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.4.1.8.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1)$

解题步骤 8.4.1.8.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + 2 x + 1)$

解题步骤 8.4.1.9

运用分配律。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.10

化简。

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解题步骤 8.4.1.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.10.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.1.10.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.10.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.10.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

解题步骤 8.4.1.10.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x$

解题步骤 8.4.1.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1.11.1

移动 $x$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 (x \cdot x) + x$

解题步骤 8.4.1.11.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x^{2} + x$

解题步骤 8.4.2

重新排序。

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解题步骤 8.4.2.1

移动 $C$ 。

$y = C x^{2} + 2 C x + x^{3} + 2 x^{2} + C + x$

解题步骤 8.4.2.2

移动 $2 C x$ 。

$y = C x^{2} + x^{3} + 2 C x + 2 x^{2} + C + x$

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