微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 4 - x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 2 d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{- 2 x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x} (- x)$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

将 $4$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 \cdot e^{- 2 x} + e^{- 2 x} (- x)$

解题步骤 2.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$

解题步骤 2.4

将 $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 4 e^{- 2 x} - e^{- 2 x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{- 2 x} y = \int 4 e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{- 2 x} d x + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.3

使 $u_{1} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.3.1

设 $u_{1} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.3.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.4.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.5

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 2 x} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8

化简。

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解题步骤 6.8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$e^{- 2 x} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.8.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8.2.2.2

约去公因数。

$e^{- 2 x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8.2.2.3

重写表达式。

$e^{- 2 x} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.8.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.9

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) + \int - x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - \int x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.11

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.12

化简。

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解题步骤 6.12.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.12.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.12.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.13

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.14

化简。

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解题步骤 6.14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.14.2

将 $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6.15

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 6.16

使 $u_{2} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.16.1

设 $u_{2} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.16.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.16.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.16.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.16.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.16.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2})$

解题步骤 6.17

化简。

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解题步骤 6.17.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

解题步骤 6.17.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

解题步骤 6.18

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}))$

解题步骤 6.19

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

解题步骤 6.20

化简。

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解题步骤 6.20.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.20.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 6.21

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 (e^{u_{1}} + C) - (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 6.22

化简。

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解题步骤 6.22.1

化简。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 6.22.2

化简。

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解题步骤 6.22.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 6.22.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 6.22.2.3

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{u_{1}} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

解题步骤 6.23

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 6.23.1

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

解题步骤 6.23.2

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 6.24

化简。

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解题步骤 6.24.1

运用分配律。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} - - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.24.2

乘以 $- - \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ 。

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解题步骤 6.24.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + 1 \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.24.2.2

将 $\frac{e^{- 2 x} x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} - - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.24.3

乘以 $- - \frac{e^{- 2 x}}{4}$ 。

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解题步骤 6.24.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + 1 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.24.3.2

将 $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.24.4

将 $\frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 6.25

重新排序项。

$e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- 2 x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- 2 x} y = - 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{2} x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{\frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 7.3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.2.2

组合 $\frac{x}{2}$ 和 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{- 2 e^{- 2 x} + \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.3

要将 $- 2 e^{- 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - 2 e^{- 2 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4

化简项。

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解题步骤 7.3.4.1

组合 $- 2 e^{- 2 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.4.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.4.3.1.1

从 $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4 + e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 7.3.4.3.1.1.1

从 $- 2 e^{- 2 x} \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.1.1.2

乘以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.1.1.3

从 $e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4) + e^{- 2 x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 4 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} (- 8 + 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.1.3

将 $- 8$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.2

将 $- 7$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 7 \cdot e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.1

要将 $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.3.5.2.1

将 $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.4

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.4.1

将 $2$ 移到 $x e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{- 2 x}) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.4.2

从 $2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 7.3.5.4.2.1

从 $2 x e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) - 7 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.4.2.2

从 $- 7 e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.4.2.3

从 $e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.5

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.6

组合 $C$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x - 7) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.8

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.8.1

运用分配律。

$y = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot - 7 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.8.3

将 $- 7$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 \cdot e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.5.8.4

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.6

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.7

将 $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ 乘以 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ 。

$y = \frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

解题步骤 7.3.8

将 $\frac{2 e^{- 2 x} x - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{2 x e^{- 2 x} - 7 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

微积分学 示例

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